SOLUÇÕES NÍVEL 3
Solução N3Q1
a) Para uma sequência que começa com os cartões 6 e 2, nessa ordem, o próximo cartão
pode ser o de número 4, 8 ou 1. Por exemplo, sendo o 4, o cartão seguinte pode ser 8,
seguido do 1, resultando em (6, 2, 4, 8, 1). Os cartões seguintes podem ser os de
números 9 e 3, resultando em (6, 2, 4, 8, 1, 9, 3), uma sequência especial com sete
cartões.
b) Com base na sequência anterior, com sete cartões, é possível formar uma com oito
cartões: os dois úlmos cartões, 9 e 3, podem ser movidos para o início da sequência
anterior e o cartão de número 5 (ou 7) pode vir à direita do cartão de número 1,
resultando em (9, 3, 6, 2, 4, 8, 1, 5) (ou (9, 3, 6, 2, 4, 8, 1, 7)).
c) Os números 5 e 7 são ambos múlplos do 1. Uma sequência especial com três cartões,
dentre eles os de números 5 e 7, pode ser (5, 1, 7). A outra possível é (7, 1, 5).
d) Dentre todos os cartões, os de números 5 e 7 são aqueles que podem ter menos vizinhos
em uma sequência especial (exatamente um vizinho cada, que deve ser o cartão de
número 1). Logo, se um deles é usado, o outro não pode ser usado para obter a maior
sequência especial possível. Quando o 5 e o 7 são ambos ulizados, obtemos uma das
sequências do item c). Portanto, as maiores sequências especiais com os cartões de
números 5 ou 7 têm apenas um desses cartões, que deve ser posicionado em uma das
suas pontas (ou no início ou no m). Logo, é impossível formar uma sequência especial
usando todos os cartões. As maiores delas têm oito cartões, tal como a do item b).
Solução N3Q2
a) Aplicando a primeira regra para os inteiros e , segue que
• e
devem ter a mesma cor, bem como os inteiros
• e
• e
• e
• e
• e
• e
Concluímos assim, pela primeira regra, que os inteiros e devem ter
a mesma cor. Logo, se Zequinha colorir o de branco, a cor do deve ser branca.
b) De acordo com a segunda regra, se e são inteiros e for branco, então pelo
menos um dos fatores ou deve ser branco. No caso em que e
for branco, temos dois fatores e iguais a em que pelo menos um deles, no
caso o , deve ser branco. A segunda regra aplicada em quadrados perfeitos
diz
que se
for branco então deve ser branco.
c) Se o for branco então, pela primeira regra, os inteiros , , e
devem ter a mesma cor branca. Por outro lado, a segunda regra aplicada ao
quadrado perfeito
diz que se for branco então deve ser branco. Logo, se o
for branco, o 16 e o 4 também serão brancos.
d) Temos que explicar por que o 2 e o 3 sempre terão a mesma cor segundo as regras
de pintura que Zequinha deve obedecer. Vamos fazer isso juscando por que essas
regras não permitem que o 2 e o 3 sejam pintados de cores diferentes. Temos duas
possibilidades para o 2 e o 3 terem cores diferentes:
• Caso em que é preto e é branco:
Nesse caso, como é branco segue, pela primeira regra, que
será branco.
Como e é preto, segue, pela segunda regra, que será necessariamente
branco. Sendo
branco segue, pela segunda regra, que será branco. Mas não
pode ser branco porque estamos no caso em que é preto.
• Caso em que é branco e é preto:
Nesse caso, como é branco segue pela primeira regra que
será
branco. Como e é preto, segue, pela segunda regra, que será
necessariamente branco. Sendo branco, segue, pela primeira regra, que será
branco. Sendo
branco, segue pela segunda regra, que será branco. Mas não
pode ser branco porque estamos no caso em que é preto.
Assim, os casos em que e tem cores diferentes nunca ocorrem segundo as regras de
pintura que Zequinha deve obedecer.
Solução N3Q3
Consideraremos a posição do carro como um ponto no segmento AB.
a) A distância ao quadrado do ponto = 3 até o ponto C é, pelo Teorema de Pitágoras,
igual a 1
2
+ 1
2
= 2, enquanto que a distância ao quadrado de = 3 até o ponto D é
2
2
+ 2
2
= 8. Logo, f (3) = 2.
b) As distâncias até as bases das antenas serão iguais em um ponto localizado entre
os pontos F e G descritos na gura abaixo.
O quadrado da distância de até C é
e o quadrado da distância
de até D é
.
Igualando as duas expressões temos ; logo, é o ponto em que as distâncias até
as bases são iguais.
c) Do item b) e da simetria do quadrado da distância aos pontos F e G, temos
Solução N3Q4
Primeira solução:
Nesta solução não há a possibilidade de uma pessoa apertar a tecla do térreo, estando nele.
As três pessoas que entram no elevador podem escolher seus andares de 4 x 4 x 4 = 64 modos.
a) O andar comum das três pessoas pode ser escolhido de 4 modos. Logo, a
probabilidade de que todos se dirijam ao mesmo andar é
.
b) Para que o elevador não pare no 1º andar, as três pessoas devem escolher um andar
diferente do primeiro, o que pode ser feito de 3 x 3 x 3 = 27 modos. Logo, a
probabilidade de que o elevador não pare no 1º andar é
e,
portanto, a probabilidade de que ele pare nesse andar é
.
c) Os três andares consecuvos podem ser 1, 2 e 3 ou 2, 3 e 4 (duas possibilidades). Em
cada um desses casos, a primeira pessoa pode escolher seu andar de 3 modos, a
segunda de 2 modos e, para a terceira, só resta 1 modo de fazer essa escolha. Logo, a
probabilidade de que o elevador pare em três andares consecuvos é
.
Segunda solução N3Q4
Podemos considerar o andar térreo como um dos andares do prédio como os demais, com a
possibilidade de uma pessoa apertar a tecla desse andar, mesmo estando nele. Assim, as três
pessoas que entram no elevador podem escolher seus andares de 5 x 5 x 5 = 125 modos.
a) O andar comum das três pessoas pode ser escolhido de 5 modos. Logo, a
probabilidade de que todos se dirijam ao mesmo andar é
.
b) Para que o elevador não pare no 1º andar, as três pessoas devem escolher um andar
diferente do primeiro, o que pode ser feito de 4 x 4 x 4 = 64 modos. Logo, a
probabilidade de que o elevador não pare no 1º andar é
e,
portanto, a probabilidade de que ele pare nesse andar é
.
c) Os três andares consecuvos podem ser: térreo, 1 e 2 ou 1, 2 e 3 ou 2, 3 e 4 (três
possibilidades). Em cada um desses casos, a primeira pessoa pode escolher seu andar
de 3 modos, a segunda de 2 modos e, para a terceira, só resta 1 modo de fazer essa
escolha. Logo, a probabilidade de que o elevador pare em três andares consecuvos é
.
Solução N3Q5
Observamos, inicialmente, que a planicação da supercie de um cilindro circular reto
é a reunião de dois círculos (as bases do cilindro) e um retângulo cuja medida de um dos
lados é igual ao comprimento da circunferência dos círculos, conforme a gura.
a) Se altura da lata é 15 cm e o comprimento da circunferência
da base é 12 cm, esses serão os comprimentos dos lados do
retângulo da planicação do cilindro; a gura ao lado mostra,
na planicação, como o adesivo triangular cujos catetos
medem 15 e 10 cm será colado sobre a supercie lateral do
cilindro. A área descoberta está em cinza no retângulo dessa
planicação.
Portanto, a área descoberta corresponde à diferença entre a área do retângulo e a
área do triângulo, ou seja, 180 – 75 = 105 cm
2
. Podemos também calcular,
alternavamente, a área do trapézio cujas bases medem 2 cm e 12 cm e cuja altura
mede 15 cm, e temos: 7 x 15 = 105 cm
2
.
b) Em razão da semelhança, os comprimentos das divisões vercais do triângulo que
representa o adesivo são iguais a
e
da altura da planicação, ou seja, 12 cm,
9 cm, 6 cm e 3 cm, respecvamente
A gura acima mostra, sobre o retângulo da planicação, as sobreposições das
divisões do adesivo triangular correspondentes à sobreposição que ocorre a cada
volta, e a divisão da altura em cinco partes de mesmo comprimento 3 cm.
Na primeira volta, o adesivo deixará descoberto apenas o triângulo retângulo
cinza com catetos medindo 12 cm e 3 cm; nas quatro voltas seguintes, o adesivo
será colado sobre a parte já adesivada na volta anterior. Portanto, a área não
coberta pelo adesivo será: (3 x 12) ÷ 2 = 18 cm
2
.
Outra solução: o triângulo cinza de catetos x e 12 é semelhante ao triângulo de
catetos 15 – x e 48. Logo, ( x ÷ 12) = ( (15 – x) ÷ 48); disso segue que x = 3 cm e a
área não coberta é 3 × 12 ÷ 2 = 18 cm
2
.
c ) O triângulo cujo cateto tem 90 cm de comprimento dará 7 voltas e meia (90 = 7 x
12 + 6) em torno da circunferência da base do cilindro.
Na primeira volta, apenas o triângulo em cinza da gura acima cará sem adesivo na
supercie cilíndrica. Completada a segunda volta, somente o paralelogramo 1 indicado
na gura cará com apenas uma camada de adesivo; após a terceira volta, somente o
paralelogramo 2 cará com apenas duas camadas de adesivo; após a quarta volta,
teremos somente a região indicada como paralelogramo 3 coberta por apenas 3
camadas de adesivo, e é essa a região cuja área devemos calcular.
Para determinar a altura da intersecção do adesivo com a vercal inicial, após a
primeira volta, podemos usar a semelhança:
, ou seja,
daí, os
paralelogramos sucessivos 1, 2 e 3 terão os lados vercais medindo
cm.
Como a altura relava a esses lados mede 12 cm, a área dos paralelogramos, em especial
a do paralelogramo 3, será cm
2
.
Solução N3Q6
Solução
a)
Sejam K, L, M e N os quatro quadrados que faltam ser pintados. Perceba que a escolha das cores
dos quadrados K e L determina unicamente a cor do quadrado M, porque nas três primeiras
colunas juntas devemos ter um número ímpar de quadrados pretos. De modo semelhante, uma
vez escolhidas as cores de L e M, temos uma apenas uma possibilidade de escolha para a cor de
N porque nas três colunas nais, juntas, também temos um número ímpar de casas pretas. As
possibilidades para as cores de K e L são 4: (Branco, Branco) = (B, B), (Branco, Preto) = (B, P),
(Preto, Branco) = (P, B) e (Preto, Preto) = (P, P). Para escolher M, temos, respecvamente, as
seguintes possibilidades: (K, L, M) = (B, B, P), (B, P, B), (P, B, B) e (P, P, P). Finalmente, para
escolher N, temos (K, L, M, N) = (B, B, P, P), (B, P, B, P), (P, B, B, B) e (P, P, P, B).
Observação: Outra forma de fazer essa contagem é escolher inicialmente as cores de L e M.
Assim cam determinadas as cores de K e N.
b) A mesma análise que foi feita no item anterior poderia ser realizada para qualquer coloração
das duas primeiras linhas. Existem
escolhas possíveis das cores dos quadradinhos dessas duas
linhas e
escolhas possíveis para as cores dos quadradinhos K e L. Portanto, há
formas de pintar o tabuleiro.
Observação: Outra explicação possível é pintar todos os quadradinhos que não estão nos cantos
de
formas e pintar dois quadradinhos dos cantos em uma mesma diagonal de
formas. Isso
determina unicamente a pintura do tabuleiro.
c) Resposta:
maneiras.
Podemos pintar as duas primeiras linhas de
formas. Uma vez escolhidas as cores dos
quadrados K e L, as cores dos quadrados M e N cam determinadas. Perceba se as duas linhas
do meio estão determinadas, podemos reper o mesmo procedimento do item anterior com a
úlma linha: ao escolhermos as cores dos quadrados X e Y, as cores de Z e T cam determinadas.
Temos assim
formas de escolher as cores dos quadrados cinzas da gura e isso determina
por completo as cores dos demais quadrados.
Mais especicamente, pintamos inicialmente as casas de cor cinza da maneira que quisermos
usando preto ou branco.
Destacamos o quadrado
3 x 3 superior esquerdo.
A cor da casa com a
estrela ca determinada
pela paridade ímpar.
Destacamos o quadrado
3 x 3 superior esquerdo.
A cor da casa com uma
nova estrela ca
determinada pela
paridade ímpar.
d) Pinte de qualquer forma as duas primeiras linhas e as duas primeiras colunas do tabuleiro
2023 x 2023. Podemos fazer isso de
formas.
Uma vez que uma dessas escolhas tenha sido realizada, o terceiro quadradinho da terceira linha
tem sua cor determinada, pois há uma única escolha possível a depender da paridade de
quadradinhos pretos pintados na área cinza do quadrado no canto superior esquerdo.
Deslocando esse quadrado para a direita, podemos concluir que o quarto quadradinho da
terceira linha também está determinado. O mesmo vale para todos os quadrados dessa linha.
Como a segunda e a terceira linha estão pintadas e os dois primeiros da quarta, pelo mesmo
argumento anterior, toda a quarta linha está determinada. Esse processo pode ser repedo até
a úlma linha e irá gerar um tabuleiro que atende as exigências do enunciado. Portanto,
podemos pintar o tabuleiro , em conformidade com o enunciado, de
formas
diferentes.
Destacamos o
quadrado 3 x 3 inferior
esquerdo. A cor da casa
com uma nova estrela
ca novamente
determinada.
Destacamos o
quadrado 3 x 3 inferior
direito. A cor da casa
com uma nova estrela
ca novamente
determinada.
As casas de cor cinza
determinam a
pintura completa, de
acordo com o
enunciado. Há 2
12
possibilidades de
pintar as casas de
cor cinza.
